Dasar-Dasar Teori dan Persamaan Gelombang

Photo by Jeremy Bishop on Unsplash

Gelombang air adalah salah satu fenomena alam yang tidak hanya menarik secara visual tetapi juga menantang untuk dipahami dari sudut pandang ilmiah. Artikel ini mengajak Anda menyelami aspek matematis dari gelombang air, mulai dari konsep dasar hingga persamaan yang lebih kompleks. Mari kita mulai dengan memahami apa itu gelombang dan bagaimana kita dapat merumuskan fenomena ini secara matematis.

Apa itu Gelombang?

Gelombang dapat diartikan sebagai gangguan atau osilasi yang merambat melalui suatu medium tanpa menyebabkan perpindahan material secara permanen. Contoh sehari-hari dari gelombang meliputi gelombang di lautan, getaran pada seutas tali, dan suara yang merambat melalui udara. Gelombang memiliki kemampuan untuk membawa energi dari satu tempat ke tempat lain, yang menjadi inti dari studi tentang gelombang.

Jenis-jenis Gelombang

Secara umum, gelombang dapat dibagi menjadi dua jenis utama:

1. Gelombang Transversal: Pada gelombang ini, partikel medium berosilasi tegak lurus terhadap arah propagasi gelombang. Contoh klasik dari gelombang transversal adalah gelombang pada tali yang digerakkan ke atas dan ke bawah.
2. Gelombang Longitudinal: Pada gelombang longitudinal, partikel medium berosilasi sejajar dengan arah propagasi gelombang, seperti yang terjadi pada gelombang suara di udara.

Dalam konteks gelombang air, kita sering berurusan dengan gelombang permukaan, yang merupakan kombinasi dari komponen transversal dan longitudinal.

Karakteristik Dasar Gelombang

Sebelum kita masuk ke dalam persamaan matematika yang lebih rinci, penting untuk memahami karakteristik dasar dari gelombang:

• Panjang Gelombang (λ): Jarak antara dua titik berurutan yang berada dalam fase yang sama, misalnya dari puncak ke puncak gelombang
• Amplitudo (A): Besarnya perpindahan maksimum partikel medium dari posisi keseimbangannya
• Periode (T): Waktu yang diperlukan untuk satu siklus penuh gelombang
• Frekuensi (f): Jumlah siklus per satuan waktu, biasanya diukur dalam Hertz (Hz), dengan f = 1/T​
• Kecepatan Gelombang (c): Kecepatan dengan mana gelombang merambat melalui medium, yang berhubungan dengan panjang gelombang dan frekuensi melalui persamaan c = λf

Persamaan Gelombang: Dasar Matematika

Persamaan gelombang adalah alat yang sangat penting dalam menggambarkan bagaimana gelombang merambat melalui suatu medium. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial yang dapat kita turunkan dari prinsip-prinsip fisika dasar.

Penurunan Persamaan Gelombang 1D

Untuk memulai, kita akan melihat bagaimana persamaan gelombang satu dimensi (1D) diturunkan. Persamaan ini memberikan dasar penting untuk memahami konsep propagasi gelombang.

Model Fisik

Bayangkan sebuah tali yang diregangkan secara horizontal di sepanjang sumbu (x). Tali ini memiliki massa per satuan panjang (ρ) dan berada dalam keadaan tegang dengan tegangan (T). Jika sebuah gangguan kecil diberikan pada tali, gelombang akan merambat sepanjang tali tersebut. Tujuan kita adalah menurunkan persamaan yang menggambarkan propagasi gangguan ini, yaitu persamaan gelombang 1D.

Menentukan Gaya pada Elemen Kecil Tali

Pertimbangkan elemen kecil dari tali dengan panjang ∆x, yang terletak antara titik x dan x + ∆x. Gaya yang bekerja pada elemen ini diakibatkan oleh tegangan pada tali, yang memiliki komponen horizontal dan vertikal.

Misalkan η(x,t) menggambarkan perpindahan vertikal tali dari posisi keseimbangan pada posisi x dan waktu t. Kemiringan dari tali pada posisi x adalah ∂η/∂x. Tegangan pada tali di dua ujung elemen kecil tersebut menghasilkan gaya netto yang bekerja pada elemen kecil tali:

Hukum Kedua Newton

Hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya netto pada suatu benda sama dengan massa benda tersebut dikalikan dengan percepatannya. Dalam hal ini, percepatan adalah percepatan vertikal dari elemen kecil tali:

Massa elemen kecil tali adalah ρ∆x, sehingga menurut hukum Newton:

Setelah membagi kedua sisi dengan ∆x, kita mendapatkan persamaan diferensial parsial yang dikenal sebagai Persamaan Gelombang 1D:

Persamaan Gelombang 1D

Dengan mendefinisikan kecepatan gelombang c sebagai:

Persamaan gelombang 1D dapat ditulis ulang sebagai:

Interpretasi dan Solusi Persamaan Gelombang 1D

Persamaan di atas menunjukkan bagaimana perpindahan vertikal η(x,t) dari tali berubah seiring waktu dan ruang. Ini adalah persamaan diferensial parsial orde kedua yang menyatakan bahwa percepatan temporal ∂²η/∂t² dari gelombang pada suatu titik x sebanding dengan kelengkungan spasial ∂²η/∂x² dari gelombang tersebut di titik yang sama.

Solusi umum dari persamaan ini adalah kombinasi dari dua fungsi yang masing-masing menggambarkan gelombang yang merambat ke arah yang berlawanan:

Di mana f(x — ct)menggambarkan gelombang yang merambat ke arah positif x, dan g(x + ct) menggambarkan gelombang yang merambat ke arah negatif x.

Contoh Gelombang Sinusoidal

Salah satu bentuk solusi dari persamaan gelombang yang paling umum adalah gelombang sinusoidal, yang dapat ditulis sebagai:

Di mana:

• A adalah amplitudo gelombang,
• k = 2π/λ adalah bilangan gelombang (dengan λ sebagai panjang gelombang),
• ω = 2πf adalah frekuensi sudut.

Gelombang sinusoidal ini menggambarkan gelombang dengan bentuk yang stabil dan berulang.

Solusi Numerik Menggunakan Metode Beda Hingga

Meskipun solusi analitik dari persamaan gelombang bisa sangat informatif, tidak semua kasus memungkinkan untuk mendapatkan solusi analitik secara langsung, terutama ketika kita menghadapi geometri yang kompleks atau kondisi batas yang tidak memungkinkan. Di sinilah metode numerik seperti metode beda hingga (finite difference method) menjadi sangat berguna.

Diskritisasi Ruang dan Waktu

Untuk menerapkan metode beda hingga, kita perlu mendiskritisasi domain ruang dan waktu. Misalkan kita memiliki interval ruang x yang dibagi menjadi N titik dengan jarak Δx di antara mereka, dan interval waktu t yang dibagi menjadi M titik dengan jarak Δt.

Nilai perpindahan vertikal η(x,t) pada posisi

dinyatakan sebagai:

Aproksimasi Beda Hingga

Turunan kedua terhadap waktu dan ruang diaproksimasi sebagai:

Dengan substitusi kedua aproksimasi ini ke dalam persamaan gelombang 1D, kita mendapatkan skema numerik berikut:

Skema ini digunakan untuk menghitung nilai perpindahan η pada titik i dan waktu n+1. Syarat stabilitas untuk skema ini ditentukan oleh bilangan Courant (CFL), yang harus memenuhi:

Jika syarat ini terpenuhi, maka skema numerik akan stabil dan memberikan hasil yang konvergen.

Implementasi Numerik

Berikut adalah implementasi skema beda hingga dalam Python untuk memecahkan persamaan gelombang 1D yang telah kita bahas:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter fisika
c = 1.0  # kecepatan gelombang
L = 10.0  # panjang domain
T = 10.0  # waktu simulasi

# Parameter numerik
Nx = 100  # jumlah titik dalam ruang
Nt = 200  # jumlah langkah waktu
dx = L / (Nx - 1)  # jarak antar titik dalam ruang
dt = T / (Nt - 1)  # langkah waktu

# Syarat stabilitas
CFL = c * dt / dx
if CFL > 1:
    raise ValueError("Syarat stabilitas CFL tidak terpenuhi.")

# Inisialisasi array untuk hasil numerik
eta = np.zeros((Nt, Nx))

# Kondisi awal: gelombang sinusoidal
for i in range(Nx):
    x = i * dx
    eta[0, i] = np.sin(2 * np.pi * x / L)

# Kondisi batas (Dirichlet): tetap nol pada ujung-ujung domain
eta[:, 0] = 0.0
eta[:, -1] = 0.0

# Langkah pertama (menggunakan turunan pertama sebagai kondisi awal)
for i in range(1, Nx - 1):
    eta[1, i] = eta[0, i] + 0.5 * (CFL ** 2) * (eta[0, i + 1] - 2 * eta[0, i] + eta[0, i - 1])

# Iterasi melalui waktu
for n in range(1, Nt - 1):
    for i in range(1, Nx - 1):
        eta[n + 1, i] = 2 * eta[n, i] - eta[n - 1, i] + (CFL ** 2) * (eta[n, i + 1] - 2 * eta[n, i] + eta[n, i - 1])

# Visualisasi hasil
plt.imshow(eta, extent=[0, L, 0, T], aspect='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Amplitudo Gelombang')
plt.xlabel('Posisi')
plt.ylabel('Waktu')
plt.title('Propagasi Gelombang 1D menggunakan Metode Beda Hingga')
plt.show()

Hasil Simulasi

Interpretasi Hasil Simulasi

Grafik yang dihasilkan oleh kode di atas menunjukkan bagaimana gelombang sinusoidal awalnya merambat sepanjang tali. Pada grafik tersebut, sumbu horizontal menunjukkan posisi sepanjang tali, sementara sumbu vertikal menunjukkan waktu. Warna yang berbeda pada peta menunjukkan amplitudo gelombang pada titik tertentu dalam waktu dan ruang.

Memperluas ke Persamaan Gelombang 2D

Setelah memahami dasar-dasar persamaan gelombang 1D dan implementasi numeriknya, kita sekarang akan memperluas pembahasan ke persamaan gelombang dua dimensi (2D). Ini adalah langkah penting untuk memahami fenomena gelombang yang lebih kompleks, seperti gelombang air di permukaan laut yang tersebar dalam dua dimensi.

Persamaan Gelombang 2D

Persamaan gelombang 2D adalah generalisasi dari persamaan gelombang 1D, di mana kita sekarang mempertimbangkan propagasi gelombang dalam dua arah ruang, yaitu x dan y. Persamaan gelombang 2D dapat ditulis sebagai:

Di sini, η(x,t) adalah perpindahan gelombang pada posisi (x, y) pada waktu t, dan c adalah kecepatan propagasi gelombang dalam medium tersebut.

Diskritisasi Ruang dan Waktu untuk Gelombang 2D

Untuk menyelesaikan persamaan gelombang 2D secara numerik, kita menggunakan metode beda hingga seperti yang dilakukan pada kasus 1D. Namun, sekarang kita harus mendiskritisasi dua dimensi ruang x dan y serta waktu t.

Misalkan kita membagi ruang menjadi grid diskrit dengan ukuran Δx dan Δy, serta mendiskritisasi waktu dengan interval Δt. Nilai perpindahan η pada titik diskrit xi dan yj dan waktu tn dinyatakan sebagai eta_{i,j}^n.

Aproksimasi Beda Hingga untuk Gelombang 2D

Turunan kedua terhadap waktu dan ruang diaproksimasi sebagai:

Dengan substitusi aproksimasi ini ke dalam persamaan gelombang 2D, kita mendapatkan skema beda hingga berikut:

Implementasi Numerik untuk Persamaan Gelombang 2D

Berikut adalah implementasi dalam Python untuk memecahkan persamaan gelombang 2D menggunakan metode beda hingga:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# Parameter fisika
c = 1.0  # kecepatan gelombang
Lx = 10.0  # panjang domain dalam x
Ly = 10.0  # panjang domain dalam y
T = 10.0  # waktu simulasi
A = 1.0  # amplitudo gangguan
sigma = 0.5  # lebar gangguan
x0, y0 = Lx / 2, Ly / 2  # posisi pusat gangguan

# Parameter numerik
Nx, Ny = 100, 100  # jumlah titik dalam ruang x dan y
Nt = 300  # jumlah langkah waktu
dx = Lx / (Nx - 1)  # jarak antar titik dalam ruang x
dy = Ly / (Ny - 1)  # jarak antar titik dalam ruang y
dt = T / (Nt - 1)  # langkah waktu

# Syarat stabilitas
CFL_x = c * dt / dx
CFL_y = c * dt / dy
if CFL_x > 1 or CFL_y > 1:
    raise ValueError("Syarat stabilitas CFL tidak terpenuhi.")

# Inisialisasi array untuk hasil numerik
eta = np.zeros((Nt, Nx, Ny))

# Kondisi awal: gangguan Gaussian di tengah
for i in range(Nx):
    for j in range(Ny):
        x = i * dx
        y = j * dy
        eta[0, i, j] = A * np.exp(-((x - x0)**2 + (y - y0)**2) / (2 * sigma**2))

# Kondisi batas (Dirichlet): tetap nol pada batas domain
eta[:, 0, :] = 0.0
eta[:, -1, :] = 0.0
eta[:, :, 0] = 0.0
eta[:, :, -1] = 0.0

# Langkah pertama (menggunakan turunan pertama sebagai kondisi awal)
for i in range(1, Nx - 1):
    for j in range(1, Ny - 1):
        eta[1, i, j] = eta[0, i, j] + 0.5 * (CFL_x**2 * (eta[0, i + 1, j] - 2 * eta[0, i, j] + eta[0, i - 1, j]) +
                                             CFL_y**2 * (eta[0, i, j + 1] - 2 * eta[0, i, j] + eta[0, i, j - 1]))

# Iterasi melalui waktu
for n in range(1, Nt - 1):
    for i in range(1, Nx - 1):
        for j in range(1, Ny - 1):
            eta[n + 1, i, j] = (2 * eta[n, i, j] - eta[n - 1, i, j] +
                                CFL_x**2 * (eta[n, i + 1, j] - 2 * eta[n, i, j] + eta[n, i - 1, j]) +
                                CFL_y**2 * (eta[n, i, j + 1] - 2 * eta[n, i, j] + eta[n, i, j - 1]))

# Visualisasi sebagai animasi
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(xlim=(0, Lx), ylim=(0, Ly))
contour = ax.contourf(np.linspace(0, Lx, Nx), np.linspace(0, Ly, Ny), eta[0], cmap='viridis')

def animate(n):
    ax.clear()
    contour = ax.contourf(np.linspace(0, Lx, Nx), np.linspace(0, Ly, Ny), eta[n], cmap='viridis')
    return contour.collections

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=Nt, interval=30, blit=False)
plt.show()

Hasil Simulasi

Interpretasi Hasil Simulasi Gelombang 2D

Dalam simulasi ini, kita akan melihat bagaimana gelombang yang dimulai dari gangguan berbentuk Gaussian di tengah domain menyebar ke seluruh ruang dua dimensi. Animasi ini memungkinkan kita untuk memvisualisasikan bagaimana gelombang menyebar dalam semua arah dari pusat gangguan dan bagaimana bentuk gelombang berubah seiring waktu.

Aplikasi dan Visualisasi untuk Gelombang Air

Pemahaman tentang persamaan gelombang 2D sangat penting untuk berbagai aplikasi, termasuk prediksi dan analisis gelombang di permukaan air. Misalnya, gelombang air di lautan atau danau dapat dianalisis menggunakan model 2D untuk memprediksi bagaimana energi dari gangguan, seperti angin atau objek yang jatuh ke air, menyebar di seluruh permukaan.

Visualisasi numerik seperti yang telah kita lakukan di atas memungkinkan kita untuk melihat efek dari berbagai faktor, termasuk bentuk gangguan awal, kecepatan gelombang, dan interaksi gelombang dengan batas-batas atau objek di dalam domain.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas dasar-dasar teori gelombang dan memperkenalkan persamaan gelombang satu dimensi (1D), kemudian memperluasnya ke dua dimensi (2D). Dengan menggunakan metode numerik seperti metode beda hingga, kita dapat memecahkan persamaan gelombang dalam berbagai skenario praktis, memberikan wawasan mendalam tentang fenomena gelombang yang kompleks seperti yang terjadi di permukaan air.

Dengan pemahaman ini, kita siap untuk mengeksplorasi lebih lanjut tentang bagaimana gelombang berperilaku dalam berbagai konteks, dan bagaimana model matematika dan komputasi dapat digunakan untuk memprediksi dan memvisualisasikan fenomena alam yang kompleks.

Pada artikel berikutnya, kita akan mendalami lebih lanjut tentang karakteristik gelombang, seperti panjang gelombang, frekuensi, dan kecepatan fase, serta bagaimana hubungan-hubungan ini berperan dalam dinamika gelombang air di permukaan.